\(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\)
\((a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\)
よって
\(a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3a^{2}b-3ab^{2}\)
\(=(a-b)^{3}+3ab(a-b)\)
\(=(a-b) \biggl\{ (a-b)^{2}+3ab\biggr\}\)
\(=(a-b)(a^{2}-2ab+b^{2}+3ab)\)
\(=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\)
従って、
\(a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\)
である。
無限級数\(a_1 + a_2 + a_3 ... a_n\)の初項から第n項までの和\(S=a_1 + a_2 + a_3 ... a_n\)を第n項までの部分和と言い、部分和\(S_n\)から作られる無限数列\(\{S_n\}\)がSに収束する時、この無限級数の和はSと言う。
\(y=\sqrt{ax+b}+c (a≠0)\)のグラフは、基本形\(y=\sqrt{a(x+p)}+q\) \([p=\frac{b}{a}], q=c\)に変形し、点(p,q)を原点と見て、\(y=\sqrt{ax}\)のグラフを書けばよい。
点Aの極座標を(a,0)、Aを通り始線OXに垂直な直線をlとして、点Pから直線lに伸ばした垂線をPHとする時、
OP : PH=e : 1
となる点Pの軌跡は2次曲線となる。
点Pの極方程式は、条件OP=ePHにPH=a-rcosθを代入して、
r=e(a-rcosθ) 即ち \(r=\frac{ea}{1+cosθ}\)と表せる。
これは、
0<e<1の時 楕円
e=1の時 放物線
1<eの時 双曲線である。
またこの定数eは離心率である。
r=a
r=2acosθ
\(r^2-r2rr_0 \times cos(θ-θ_0)+r_0^2\)
点Pの極座標を(r,θ), 直交座標を(x,y)とする。直交座標の原点Oとx軸の正の部分をそれぞれ極座標の極Oと始線OXに一致させると、次が成り立つ。
x=rcosθ、y=rsinθ
\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
r≠0の時、\(cosθ=\frac{x}{r}, sinθ=\frac{y}{r}\)
\(cos^2θ=\frac{1+cos2θ}{2}\)
\(cos2θ=cosθcosθ-sinθsinθ\)
\(cos2θ=cos^2θ-sin^2θ\)
\(sin^2θ=1-cos^2θ\)より
\(cos2θ=cos^2θ-1+cos^2θ\)
\(cos2θ+1=2cos^2θ\)
\(cos^2θ=\frac{1+cos2θ}{2}\)
\(sin^2θ=\frac{1-cos2θ}{2}\)
\(cos2θ=cosθcosθ-sinθsinθ\)
\(cos2θ=cos^2θ-sin^2θ\)
\(cos^2θ=1-sin^2θ\)より
\(cos2θ=1-sin^2θ-sin^2θ\)
\(cos2θ-1=-2sin^2θ\)
\(sin^2θ=\frac{1-cos2θ}{2}\)
\(asinθ+bcosθ=\sqrt{a^2+b^2}(sin(θ+α))\)
もし点(a,b)が単位円上に存在すれば、a=cosα, b=sinαなので、
sin(θ+α)=cosαsinθ+sinαcosθよりasinθ+bcosθ。
点(a,b)が単位円上に存在しなければ、\(\sqrt{a^2+b^2}\)倍した先に存在する。
x=acosθ
y=asinθ
\(cosθ=\frac{x}{a}, sinθ=\frac{y}{a}\)を\(sin^2θ+cos^2θ=1\)に代入。
x=acosθ
y=bsinθ
\(cosθ=\frac{x}{a}, sinθ=\frac{y}{a}\)を\(sin^2θ+cos^2θ=1\)に代入。
\(x=\frac{a}{cosθ}\)
y=btanθ
\(\frac{1}{cosθ}=\frac{x}{a}, tanθ=\frac{y}{b}\)を\(1+tan^2θ=\frac{1}{cos^2θ}\)に代入。
x=pt
y=2pt
\(t=\frac{y}{2p}\)を\(x=pt^2\)に代入。
円 \(x^2+y^2=a^2\) → \(x=\frac{a(1-t^2)}{1+t^2}, y=\frac{2at}{1+t^2}\)
楕円 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) → \(x=\frac{a(1-t^2)}{1+t^2}, y=\frac{2bt}{1+t^2}\)
双曲線 \(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\) → \(x=\frac{a(1+t^2)}{a-t^2}, y=\frac{2bt}{a-t^2}\)
一般に次が成り立つ。曲線x=f(t), y=g(t)をx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動した曲線は、x=f(t)+p, y=g(t)+qである。
双曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)(a>0,b>0)上の点(x1,y1)における接線の方程式は、\(\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1\)である。
[1] 点(x1,y1)における接線がx軸に垂直でない場合
接線の方程式は、\(y-y_1=m(x-x_1)\) (1)
\(y=mx-mx_1+y_1\) これを双曲線の方程式に代入し、
\(\frac{b^2x^2-a^2y^2}{a^2b^2}=1\)
\(b^2x^2-a^2y^2=a^2b^2\)
\(b^2x^2-a^2(mx-mx_1+y_1)^{2}=a^2b^2\)
\(mx-mx_1\)をAと置いて、
\(b^2x^2-a^2(A^2+2Ay_1+y_1^{2})-a^2b^2=0\)
\(b^2x^2-a^2(m^2x^2-2m^2x_1x+m^2x_1^{2}+2(mx-mx_1)y_1+y_1^{2})-a^2b^2=0\)
\(b^2x^2-a^2(m^2x^2-2m^2x_1x+m^2x_1^{2}+2my_1x-2mx_1y_1+y_1^{2})-a^2b^2=0\)
\(b^2x^2-a^2m^2x^2+2a^2m^2x_1x-a^2m^2x_1^{2}-2a^2my_1x+2a^2mx_1y_1-a^2y_1^{2}-a^2b^2=0\)
\(-(a^2m^2-b^2)x^2+2a^2m(m2x_1-y_1)x-a^2m^2x_1^{2}-2a^2mx_1y_1-a^2y_1^{2}-a^2b^2=0\) (2)
直線(1)が双曲線に接するには(2)が重解x=x1を持つので、\(α=-\frac{b}{2a}\)より、
\(x_1=-\frac{2a^2m(mx_1-y_1)}{-2(a^2m^2-b^2)}\)
\(x_1=\frac{a^2m(mx_1-y_1)}{(a^2m^2-b^2)}\)
\((a^2m^2-b^2)x_1=a^2m(mx_1-y_1)\)
\(a^2m^2x_1-b^2x_1=a^2m^2x_1-a^2my_1\)
\(-b^2x_1=-a^2my_1\)
\(m=\frac{b^2x_1}{a^2y_1}\)
(1)にmを代入して、
\(y-y_1=\frac{b^2x_1}{a^2y_1}(x-x_1)\)
\((a^2y_1)(y-y_1)=(b^2x_1)(x-x_1)\)
\(a^2y_1y-a^2y_1^{2}=b^2x_1x-b^2x_1^{2}\)
\(a^2y_1y-b^2x_1x=a^2y_1^{2}-b^2x_1^{2}\)
\(a^2b^2\)で両辺を割って、
\(\frac{a^2y_1y}{a^2b^2}-\frac{b^2x_1x}{a^2b^2}=\frac{a^2y_1^{2}}{a^2b^2}-\frac{b^2x_1^{2}}{a^2b^2}\)
\(\frac{y_1y}{b^2}-\frac{x_1x}{a^2}=\frac{y_1^{2}}{b^2}-\frac{x_1^{2}}{a^2}\)
両辺にマイナスをかけて
\(\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=\frac{x_1^{2}}{a^2}-\frac{y_1^{2}}{b^2}\)
\(\frac{x_1^{2}}{a^2}-\frac{y_1^{2}}{b^2}=1\)より、
\(\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1\) (3)
[2] 接線がx軸に垂直の場合
\(y_1=0\)、\(\frac{x_1^{2}}{a^2}=1\)、\(x_1^{2}=±a\)
よって接線の方程式は、x=a、x=-a、これは(3)において(x1,y1)=(a,0),(-a,0)を代入すると得られる。
放物線\(y^2=4px\) (p≠0) 上の点\((x_1,y_1)\)における接線の方程式は、\(y_1y=2p(x+x_1)\)である。
接線がx軸に垂直でないので、接線の方程式は、
\(y-y_1=m(x-x_1)\) (1)
\(x=\frac{y-y_1+mx_1}{m}\)
と書ける。これを放物線の方程式に代入し、
\(y^2=4p \times \frac{(y-y_1+mx_1)}{m}\)
\(my^2-4py+4p(y_1-mx_1) = 0\) (2)
直線(1)が放物線に接するには(2)が重解を持つので、
\(α=-\frac{b}{2a}\) より
\(y_1=-\frac{-4p}{2m}=\frac{2p}{m}\)
\(my_1=2p\)
\(m=\frac{2p}{y_1}\)
(1)に代入して、
\(y-y_1=\frac{2p}{y_1}(x-x_1)\)
\(yy_1-y_1^{2}=2p(x-x_1)\)
\(y_1^{2}=4px_1\)なので、
\(yy_1-4px_1=2px-2px_1\)
\(yy_1=2px+2px_1\)
\(yy_1=2p(x+x_1)\)
点Pから直線lに引いた垂線をPHとするとき、PF:PH=e:1(eは正の整数)を満たす点Pの軌跡は、Fを1つの焦点とする2次曲線で、lを準線、eを2次曲線の離心率と言う。
[1] 0<e<1のとき Fを焦点の一つとする楕円
[2] e=1のとき Fを焦点、lを準線とする放物線
[3] 1<eのとき Fを焦点の一つとする双曲線
放物線\(y=ax^2\)をx軸方向にp、y軸方向にqだけ移動すると放物線\(y=(a-p)^2+q\)に移る。
曲線F(x,y)=0をx軸方向にp、y軸方向にqだけ平行移動すると移動後の曲線の方程式はF(x-p,y-q)=0となる。
この平行移動によって曲線F(x,y)=0上の点Q(s,t)が点P(x,y)に移されるとすると、
x=s+p
y=t+q
s=x-p
t=y-q
これをF(s,t)に代入すると、F(x-p,y-q)=0。これが曲線の平行移動後の方程式である。
三角形ABCの辺BC,CA,ABまたはその延長が1つの直線とそれぞれ点P,Q,Rで交わる時、\(\frac{AR}{RB} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA}=1\)が成り立つ。
・説明
図のようにH,Kと取ると、⊿OAB:⊿OCA=BH:CK
BH//CKなのでBH:CK=BP:CP
即ち
\(\frac{BP}{PC}=\frac{⊿OAB}{⊿OCA}\)
同様にして
\(\frac{CQ}{QA}=\frac{⊿OBC}{⊿OAB}\)
\(\frac{AR}{RB}=\frac{⊿OCA}{⊿OBC}\)
\(\frac{⊿OAB}{⊿OCA} \times \frac{⊿OBC}{⊿OAB} \times \frac{⊿OCA}{⊿OBC} = 1\)
従って
\(\frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} \times \frac{AR}{RB}=1\)
三角形ABCの辺BC,CA,AB上にそれぞれ点P,Q,Rがあり、3直線AP,BQ,CRが1点で交わる時、\(\frac{AR}{RB} \times \frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA}=1\)が成り立つ。
・説明
⊿ABCの頂点Aを通り、直線lに平行な直線を引き、直線BCとの交点をDとする。
平行線と線分の比の関係から、
\(\frac{CQ}{QA}=\frac{CP}{PD} , \frac{AR}{RB}=\frac{DP}{PB}\)
よって
\(\frac{BP}{PC} \times \frac{CQ}{QA} \times \frac{AR}{RB} = \frac{BP}{PC} \times \frac{CP}{PD} \times \frac{DP}{PB} = 1\)
円の接線は接点を通る半径に垂直である。
円外の1点から引いた2本の接線の長さは等しい。
三角形の3辺の垂直二等分線は1点Oで交わり、この点Oを三角形の「外心」という。外心Oはその三角形の外接円の中心になる。
三角形の3つの角の二等分線は1点Iで交わり、この点Iを三角形の「内心」という。内心Iはその三角形の内接円の中心になる。
三角形のある頂点とその対辺の中点を結ぶ線分を「中線」と言う。三角形の3つの中線は一点Gで交わり、この点Gを三角形の「重心」と言う。
重心Gは各中線を2:1に内分する。
三角形ABCの∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとするとき、AB:AC=BD:DCが成り立つ。
AB≠ACな三角形ABCの∠Aの外角の二等分線と辺BCの延長線との交点をEとするとき、AB:AC=BE:ECが成り立つ。
線分AB上の点Pが、AP:PB=m:nを満たすとき、点Pは線分ABをm:nに「内分」すると言う。線分AB上の延長線上の点Qが、AQ:QB=m:nを満たすとき、点Qは線分ABをm:nに「外分」すると言う。
平面上で2定点F,F'からの距離の差が0でなく、一定である点の軌跡を双曲線と呼ぶ。
2定点F,F'を双曲線の焦点と言う。なお焦点F,F'からの距離の差は線分F,F'の長さより小さいとする。
2定点F(c,0),F'(-c,0) [c>0]を焦点とし、この2点からの距離の差が2aである双曲線Cの方程式を求める。
双曲線C上の点をP(x,y)とすると、|PF-PF'|<FF'より、2a<2cすなわちc>a>0。
|PF-PF'|=2aから、\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}-\sqrt{(x+c)^2+y^2}=±2a\)
\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}=±2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)
両辺を二乗して
\((x-c)^2+y^2=4a^2±4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2\)
\(x^2-2cx+c^2=4a^2±4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+x^+2cx+c^2\)
\(-2cx=4a^2±4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+2cx\)
\(\mp 4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=4a^2+4cx\)
\(\mp a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=a^2+cx\)
両辺を二乗して
\(a^2{(x+c)^2+y^2}=a^4+2a^2cx+c^2x^2\)
\(a^2(x^2+2cx+c^2+y^2)=a^4+2a^2cx+c^2x^2\)
\(a^2x^2+2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2=a^4+2a^2cx+c^2x^2\)
\(a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2=a^4+c^2x^2\)
\(a^2c^2-a^4+a^2y^2=c^2x^2-a^2x^2\)
\(a^2(c^2-a^2)+a^2y^2=(c^2-a^2)x^2\)
\(\sqrt{c^2-a^2}=b\)と置くと、
\(b^2a^2+a^2y^2=b^2x^2\)
\(b^2a^2=b^2x^2-a^2y^2\)
両辺を\(b^2a^2\)で割って、
\(1=\frac{b^2x^2}{b^2a^2}-\frac{a^2y^2}{b^2a^2}\)
\(1=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}\) ...(1)
が導かれる。
逆に、(1)を満たす点P(x,y)は、|PF-PF'|=2aを満たす。(1)を双曲線の方程式の標準形と言う。
ここで、
\(\sqrt{c^2-a^2}=b\)
\(c^2-a^2=b^2\)
\(c^2=b^2+a^2\)
\(c=\sqrt{b^2+a^2}\)
なので、焦点F,F'の座標は\(F(\sqrt{a^2+b^2},0), F'(-\sqrt{a^2+b^2},0)\)となる。
焦点F,F'を通る直線FF'と双曲線の2つの交点を頂点、線分FF'の中点を双曲線の中心と言う。双曲線(1)は、x軸、y軸、原点に対して対称である。
さらに、双曲線(1)は原点から限りなく遠ざかると2直線\(y=\frac{b}{a}x\)、\(y=-\frac{b}{a}x\)に限りなく近づく。このような直線を双曲線の漸近線と言う。
焦点は2点\((\sqrt{a^2+b^2},0),(-\sqrt{a^2+b^2},0)\)
双曲線上の点から2つの焦点までの距離の差は2a
漸近線は2直線 \(y=\frac{b}{a}x, y=-\frac{b}{a}x\)
曲線はx軸、y軸、原点Oに関して対称
正の数a,b,cを3辺の長さとする三角形が存在するための条件は、
a<b+c かつ b<c+a かつ c<a+b
が成り立つことである。
三角形において、大きい角の対辺の長さは小さい角の対辺の長さより小さい。
また、長い辺の対角の大きさは、短い辺の対角の大きさより大きい。
平面上で定点F,F'からの距離の和が一定な点の軌跡を楕円と言う。
2定点F(c,0),F'(-c,0) c>0を焦点とし、この2点からの距離の和が2aである楕円Cの方程式を軌跡の考え方で求める。
楕円上の点をP(x,y)とすると、PF+PF'=2aなので、
\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a\)
\(\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)
両辺を二乗して整理すると、
\((x-c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2\)
\((x^2-2cx+c^2=4a^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2cx+c^2\)
\((x^2-2cx+c^2=4a^2-4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}+x^2+2cx+c^2\)
\(4a^2+4cx=4a\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)
\(a^2+cx=a\sqrt{(x+c)^2+y^2}\)
両辺を二乗して整理すると、
\(a^4+2a^2cx+c^2x^2=a^2(x+c)^2+a^2y^2\)
\(a^4+2a^2cx+c^2x^2=a^2(x^2+2cx+c^2)+a^2y^2\)
\(a^4+2a^2cx+c^2x^2=a^2x^2+2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2\)
\(a^4+c^2x^2=a^2x^2+a^2c^2+a^2y^2\)
\(a^4+a^2c^2=a^2x^2+c^2x^2+a^2y^2\)
\(a^2(a^2+c^2)=(a^2+c^2)x^2+a^2y^2\)
a>cより、\(\sqrt{a^2+c^2}=b\)と置くと、a>b>0より、
\(a^2b^2=b^2x^2+a^2y^2\)
両辺を\(a^2b^2\)で割って、
\(\frac{a^2b^2}{a^2b^2}=\frac{b^2x^2}{a^2b^2}+\frac{a^2y^2}{a^2b^2}\)
\(1=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\) ...(1)
となる。逆に(1)を満たす点P(x,y)はPF=PF'を満たすので、(1)は楕円の方程式である。
いくつかの試行について、どの試行も他の試行の結果に影響を与えないとき、これらの試行は「独立」であると言う。
独立な試行S,Tにおいて、Sで事象Aが起こり、かつ、Tで事象Bが起こる確率は積P(A) x P(B)に等しい。
ある試行の事象A,Bについて、「事象Aが起こったとしたときに、事象Bが起こる確率」を「条件付き確率」といい、\(P_A(B)\)と表す。この時、\(P(A∧B)=P(A) \times P_A(B)\)が成り立つ。
ある試行の事象AとBについて、「AまたはBが起こる事象」をAとBの「和事象」と言い、A∨Bと表す。一方、「AとBがともに起こる事象」をAとBの「積事象」と言い、A∧Bと表す。これらの確率に関して次式が成り立つ。
P(A∨B)=P(A)+P(B)-P(A∨B)
(重複して数えた分を引く。)
定点F(p,0)を焦点とし、定直線l : x=-pを準線とする放物線Cの方程式を軌跡で求める。ここで、lが点Fを通らないようにp≠0とする。
放物線上の点をP(x,y)とし、Pからlに下ろした垂直線をPHとすると、PF=PHであり、PとHのy座標は等しいので、\(\sqrt{(x-p)^{2}-(y-0)^{2}}=|x-(-p)|\)
\(PF=PH ⇔ PF^2=PH^2\)
\((x-p)^{2}+(y)^{2}=(x+p)^2\)
\(x^2-2px+p^2+y^2=x^2+2px+p^2\)
\(y^2=4px\) ...(1)
逆に、(1)を満たす点P(x,y)はPF=PHを満たすので、(1)は放物線Cの方程式である。
放物線\(y^2=4px\)の性質
焦点は点(p,0)
準線は直線x=-p
軸はx軸、頂点は原点O
曲線はx軸に対して対称
定点F(0,p)を焦点、l : y=-pを準線とする放物線の方程式は、\(x^2=4py\)。
この放物線は放物線\(y^2=4px\)を直線y=xに関して対称移動したものである。すなわち放物線\(y=ax^2\)なので、焦点、準線は、点\((0,\frac{1}{4a})\)、直線\(y=-\frac{1}{4a}\)である。
ある試行において、起こりうる全ての場合を要素とする集合をU、このうち事象Aの起こる場合を要素とする部分集合を同じ記号でAとする。
このとき事象Aの起こる確率P(A)は、\(P(A)=\frac{n(A)}{n(U)}\)と表現できる。
\((a+b+c)^n\)を展開整理した時、\(a^{p}b^{q}c^{r}\)(p+q+r=n)の係数は\(\frac{n!}{p! \times q! \times r!}\)になる。
第n行の係数は、\((a+b)^n\)を展開した多項式の係数に一致する。
\((-i)^2=1\)
\((-i)^3=i\)
異なるn個のものからどれも少なくとも1回は選ぶ条件の下、重複を許してr個選ぶ重複組合せの総数は、\({}_{r-1} C_{r-n}={}_{r-1} C_{n-1}\)通りある。
|i|=1
\(w=\frac{z+2}{z-1}\)、\(z=\frac{w+2}{w-1}\)
\(w(z-1)=z+2\)
\(wz-w-z-2=0\)
\(-(w+2)+z(w-1)=0\)
\(z(w-1)=(w+2)\)
\(z=\frac{(w+2)}{(w-1)}\)
異なるn個のものから、同じものの重複を許してr個選んで組を作る時、これらの組を「重複組合せ」といい、その総数は\({}_{n+r-1} C_r\)通りある。
円順列をひっくり返したものを同じとみなすので、\(\frac{(n-1)!}{2}\)
cos(-θ)=cos(θ)、sin(-θ)=-sin(θ)
n個のうち、同じものがそれぞれp個、q個、r個...あるとき(p+q+r...=n)これらn個のものを並べて出来る順列の総数は、\(\frac{n!}{p! \times q! \times r! ...}\)である。
\(\overline{i}=-i\)
n個の異なるものから、同じものの重複を許してr個選んで1列に並べる配列を作るとき、これらの配列を「重複順列」と言い、その総数は\({}_n \Pi_r=n^r\)ある。
2つの事柄A,Bについて、AとBは同時に起こらないとする。
この時、AまたはBが起こる場合の数はa+b通りある。
円周 : 2πr
円の面積 : \(r^2π\)
球の表面積 : \(4πr^2\)
球の体積 : \(\frac{4}{3}πr^3\)
命題「p⇒q」(pならばq)について、それを直接証明するのが困難な場合、代わりに対偶の命題「\(\overline{q}⇒\overline{p}\)」を証明する方法を対偶証明法と言う。
また、命題の否定「\(\overline{p∧q}\)」(pかつqでない)を仮定し、矛盾を導いて証明する方法を「背理法」と言う。
2つの命題PとQが与えられた時、「PならばQである」も命題となり、P⇒Qと表す。
Pをこの命題の「仮定」、Qを「結論」と言う。
命題Pが真にも関わらず、命題Qが偽の時、かつその時に限り、命題P⇒Qは偽となる。
\(\vec{a}⊥\vec{b} ⇔ \vec{a}\vec{b}=0\)
\(\vec{a}//\vec{b}\) → 0でない実数kを用いて\(\vec{b}=k\vec{a}\)と表せる。
三角形の重心 : 三角形の3つの中線は1点で交わり、その点は各中線を2:1の比に内分する。
三角形の内心 : 三角形の3つの内角の二等分線は1点で交わり、その点は3つの辺から等距離にある。
三角形の外心 : 三角形の3つの辺の垂直二等分線は1点で交わり、その点は3つの頂点から等距離にある。
三角形の重心 : 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした3つの垂線は1点で交わる。
Nを正の整数とする時、
Nが2の倍数 ⇔ Nの1の位が2の倍数
Nが3の倍数 ⇔ Nの各位の数の和が3の倍数
Nが4の倍数 ⇔ Nの下2桁の数が4の倍数
Nが5の倍数 ⇔ Nの1の位が5の倍数
Nが6の倍数 ⇔ Nの1の位の数が2の倍数でNの各位の数の和が3の倍数
Nが7の倍数 ⇔ 1の位から3桁ごとに区切り、交互に加算した和が7の倍数 または、1の位側にシフトし、シフトした1の位を5倍してシフトした数と足した数が7の倍数ならば7の倍数。
Nが8の倍数 ⇔ Nの下3桁の数が8の倍数
Nが9の倍数 ⇔ Nの各位の数の和が9の倍数
もとの命題と対偶の命題の真偽は一致する。
z=r(cosθ+isinθ)[-π<θ<=π]において、
θ=argz=0 または π ⇔ zは実数
θ=argz=\(\frac{π}{2}\) または \(-\frac{π}{2}\) ⇔ zは純虚数
また\(∠βαγ=arg\frac{γ-α}{β-α}\)
異なる3点A(α),B(β),C(γ)に対して、
3点A,B,Cが一直線上にある ⇔ \(\frac{γ-α}{β-α}\)が実数
AB⊥AC ⇔ \(\frac{γ-α}{β-α}\)が純虚数
分母に変数が来ないように計算する。
座標平面上の問題と捉えると、
3点A,B,Cが一直線 → 2直線AC,ABの傾きが等しい
AB⊥AC → (ACの傾き) × (ABの傾き) = -1
条件p,qが互いに必要十分条件であるとき、pとqは「同値である」と言い、p⇔qと表す。
\(\vec{a}\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|cosθ\)
nxmのマス目上の最短の道順の総数は、n個の↑とm個の→を1列に並べる順列の総数に等しい。
円周角の定理より、
∠PAC=∠PDB
∠PCA=∠PBD
よって2組の角が等しいので、⊿PACと⊿PDBは相似。
よって
PA:PD=PC:PB
従って
PA x PB= PC x PD
が成り立つ。
円周角の中心角の性質より、
\(\frac{1}{2}∠COB(鋭角側)=∠BAC\)
\(\frac{1}{2}∠COB(鈍角側)=∠CDB\)
∠COB(鋭角側) + ∠COB(鈍角側)=360°なので、
∠BAC+∠CDB=180°。
同じく
∠DCA=180°-∠ABD
∠ABD=180°-∠DCA
∠BAC=180°-∠CDB
∠CDB=180°-∠BAC
よって
∠PAC=∠CDB
∠PCA=∠CBA
2組の角がそれぞれ等しいので⊿PACと⊿PBDは相似。
よって
PA:PD=PC:PB
従って
PA x PB = PC x PD
が成り立つ。
接弦定理より
∠PCA=∠ABC=∠PBC
また、Pは共通。
よって2組の角がそれぞれ等しいので⊿PACと⊿PBCは相似。
よって
PA:PC=PC:PB
従って
\(PA \times PB=PC^2\)
が成り立つ。
一般に、逆の向きに相似な場合も含めて、次が成り立つ。
\(\frac{γ-α}{β-α}=\frac{γ'-α'}{β'-α'}\)または\(\frac{γ-α}{β-α}=\frac{\overline{γ'-α'}}{β'-α'}\) ⇔ ⊿ABC∽⊿A'B'C'
複素数平面上の異なる3点A(α), B(β), C(γ)に対して、∠βαγを点Aを中心として半直線ABが半直線ACまで回転した角と定める。
そうすると、点Aが原点Oに移る平行移動により、点B,CはそれぞれB'(β-α),C'(γ-α)に移るので、∠BAC=∠B'OC'より、∠βαγ=arg(γ-α)-arg(β-α)。
故に\(∠βαγ=arg\frac{γ-α}{β-α}\)
条件p,qについて、「p⇒q」も「q⇒p」も共に真である時、すなわち互いに必要条件かつ十分条件である時、pはqであるための「必要十分条件」と言う。
点\(x_0,y_0\)と直線l : ax+by+c=0の距離。
点から直線lに伸ばした直交線と直線lとの交点Hの座標を(X,Y)とする。\(\vec{AH}\)はlの法線ベクトルと平行なので、実数tを用いて\((X-x_0,Y-y_0)=t(a,b)\)と表せる。
Hはl上にあるので、aX+bY=-c。(a,b)との内積を取ると、
\(a(X-x_0)+b(Y-y_0)=ta \times a + tb \times b\)
\(aX-ax_0+bY-by_0=ta^2 + tb^2\)
aX+bY=-cより、
\(-c-ax_0-by_0=t(a^2+b^2)\)
\(t=\frac{-c-ax_0-by_0}{(a^2+b^2)}\)
\(t=-\frac{ax_0+by_0+c}{(a^2+b^2)}\)
よってAHの長さ、すなわちt(a,b)の長さは、
\(d=t\sqrt{a^2+b^2}=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{(a^2+b^2)}}\)
\(\sqrt[4]{2}=2^{\frac{1}{4}}\)
[1] 平行移動 β→O、α→α'
[2] 回転運動 Oを中心としてθ回転 α'→α''
[3] 平行移動 O→β、α''→γ
点iz-2は、原点を中心として\(\frac{π}{2}\)だけ回転し、さらに実軸方向に-2だけ平行移動したもので、点-2を中心とする半径1の円を描く。
条件pおよびqを満たすものの集合をPおよびQとするとき、条件の和「p∨q」には集合の和「P∨Q」が、条件の積「p∧q」には集合の共通部分「P∧Q」が、条件の否定「\(\overline{p}\)」には、補集合「\(\overline{P}\)」が対応する。
AEが直径となるように点Eを取る。
ADは接線なので、∠EAB=90° - ∠BAD
またAEは直径なので、∠EBA=90°。
三角形の内角の和は180°なので∠EAB+∠AEB=90°、変形して∠EAB=90° - ∠AEB
以上より、∠AEB=∠BAD。円周角の定理より∠AEB=∠ACB。
従って∠ACB=∠AEB。
BAは円の半径なので、∠ACB=90°
∠BAD=90°なので、∠ACB=∠BAD。
接線上にAに対してDと反対側にEを取る。
鋭角の場合の接舷定理より、∠BAE=∠CBA。
三角形の内角の和は180°より、
∠CAB+∠ACB+∠CBA=180°
一直線なので、
∠EAC+∠CAB+∠BAD=180°
変形して、
∠ACB=180°-∠CBA-∠CAB
∠BAD=180°-∠EAC-∠CAB
∠EAC=∠CBAなので、
従って∠ACB=∠BAD。
微分してx=0の点が極大・極小点。グラフの形で増減表を書きどちらが極大、極小か見ること。
\(a \int_α^β \{ (x-α)(x-β) \} dx = -\frac{|a|}{6}(β-α)^{3}\)
\(a \int_α^β \{ (x-α)(x-β) \} dx \)
\(= a \int_α^β \{ x^2 -αx -βx +αβ \} dx \)
\((x-α)((x-α)+α-β)=x^2-2αx+α^2+αx-α^2-βx+αβ=x^2-αx-βx+αβ\) より、
\(= a \int_α^β \{ (x-α)((x-α)+α-β) \} dx \)
\(= a \int_α^β \{ (x-α)^2-(β-α)(x-α) \} dx \)
\(= a \left[\frac{(x-α)^3}{3}-(β-α)\frac{(x-α)^2}{2}\right]^β_α \)
\(= a \biggl\{ \{ \frac{(β-α)^3}{3}-(β-α)\frac{(β-α)^2}{2} \} - \{ \frac{(α-α)^3}{3}-(β-α)\frac{(α-α)^2}{2} \} \biggr\} \)
\(= a \{ \frac{(β-α)^3}{3}-\frac{(β-α)^3}{2} \} \)
\(= a \{ \frac{2(β-α)^3}{6}-\frac{3(β-α)^3}{6} \} \)
\(= - \frac{|a|}{6} (β-α)^3 \)
3組の辺がそれぞれ等しい。
2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。
1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。
\((\overline{z}-2i)=\overline{(z+2i)}\)
方程式|z+2|=2|z-1|を満たす点z全体はどのような図形を表すか。
A(-2), B(1), P(z)とすると与えられた等式はAP=2BP、故にAP:BP=2:1(一定)
従って、点P(z)全体は2定点A,Bからの距離の比が2:1である点の軌跡である。線分ABを2:1に内分する点は点0、外分する点は点4なので、点P(z)全体は点0と点4を直径の両端とする円を表す。
このような円をアポロニウスの円と言う。
方程式|z-α|=r(>0)を満たす点z全体は、点αが中心の半径rの円を表す。
方程式|z-α|=|z-β|(α≠β)を満たす点z全体は、2点α,βを結ぶ線分の垂直二等分線を表す。
2点A(α)、B(β)の距離はAB=|β-α|
複素数αを加えることは原点Oから|α|だけ平行移動することになる。
正の数kを掛けることは原点を中心としてk倍に拡大する、または縮小することになる。k>1なら拡大、0<k<1なら縮小。
絶対値が1の複素数cosθ+sinθiを掛けるのは、原点を中心として角θだけ回転させることになる。
\(α=x_1+y_1i, β=x_2+y_2i, z=x+yi\)とし、A(α)、B(β)を結ぶ線分ABをm:nに内分する点をP(z)とすると、
\(|P(z)-A(α)|=\frac{m}{m+n}|B(β)-A(α)|\)
\(|P(z)|=A(α)+\frac{m}{m+n}|B(β)-A(α)|\)
\(=x_1+y_1i+\frac{m}{m+n}|(x_2+y_2i)-(x_1+y_1i)|\)
\(=x_1+y_1i+\frac{mx_2+my_2i-mx_1-my_1i}{m+n}\)
\(=\frac{mx_2+my_2i-mx_1-my_1i+mx_1+my_1i+nx_1+ny_1i}{m+n}\)
\(=\frac{n(x_1+y_1i)+m(x_2+y_2i)}{m+n}\)
よって線分ABをm:nに内分する点は\(\frac{nα+mβ}{m+n}\)、m:nに外分する点は\(\frac{-nα+mβ}{m-n}\)である。
\((z^n-1)=(z-1)(z^{n-1}+z^{n-2} \times z^2+1)=z^n+z^{n-1}+z^{n-2} \times +z^2+z -z^{n-1}-z^{n-2} \times -z^2-z-1=(z^n-1)\)
ド・モアブルの公式より、
\((cosθ+sinθi)^3=cos3θ+sin3θi\)
\((cosθ+sinθi)^3=cos^3θ+3cos^2θsini-3cosθsin^2θ-sin^3θi=cos3θ+sin3θi\)
\(cos^3θ+3cos^2θsini-3cosθsin^2θ-sin^3θi-sin3θi=cos3θ\)
\(cos^3θ-3cosθsin^2θ+i(3cos^2θsin-sin^3θ-sin3θ)=cos3θ\)
\(cos^3θ-3cosθ(1-cos^2θ)+i(3cos^2θsin-sin^3θ-sin3θ)=cos3θ\)
\(cos^3θ-3cosθ+3cos^3θ+i(3cos^2θsin-sin^3θ-sin3θ)=cos3θ\)
\(4cos^3θ-3cosθ+i(3cos^2θsin-sin^3θ-sin3θ)=cos3θ\)
sin3θを計算する。
\(sin3θ=sinθcos2θ+cosθsin2θ\)
倍角の公式より、
\(=sinθ(cos^2θ-sin^2θ)+cosθ(2sinθcosθ)\)
\(=sinθcos^2θ-sin^3θ+2sinθcos^2θ\)
\(=3sinθcos^2θ-sin^3θ\)
よって、
\(4cos^3θ-3cosθ+i(3cos^2θsin-sin^3θ-3sinθcos^2θ+sin^3θ)=cos3θ\)
\(4cos^3θ-3cosθ+i \times 0=cos3θ\)
従って、
\(cos3θ=4cos^3θ-3cosθ\)
\(sin3θ=-sin^3θ+3sinθcos^2θ\)
\(=-sin^3θ+3sinθ(1-sin^2θ)\)
\(=-sin^3θ+3sinθ-3sin^3θ\)
\(=3sinθ-4sin^3θ\)
三角形の重心は、各辺の中点を結んだ点で、各辺に結んだ点を2:1に内分する。
PはBCを1:1に内分する点なので、
\(\vec{p}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}\)
重心GはAPを2:1に内分するので、
\(\vec{g}=\frac{\vec{a}+2\vec{p}}{2+1}\)
\(=\frac{\vec{a}+2 \times \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}}{3}\)
\(=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}\)
\(z=1=cos(\frac{2kπ}{n}+isin(\frac{2kπ}{n}))\)でk=1としたとき、\(z_=cos(\frac{2π}{n}+isin(\frac{2π}{n}))\)とおくと、ド・モアブルの定理から、1のn乗根は\(1,z_1,z_1^2,z_1^3,z_1^4 \dots z_1^{n-1}\)で与えられる。
これは単位円の円周の等分線となっている。
\((cosθ+isinθ)^n=(cosnθ+isinnθ)\)
\((cosθ+isinθ)^2\)
積の極形式より、
\(=(cos2θ+isin2θ)\)
\((cosθ+isinθ)^3=(cosθ+isinθ)^2 \times (cosθ+isinθ)=(cos3θ+isin3θ)\)
一般に、自然数nに対し、
\((cosθ+isinθ)^2=(cosnθ+isinnθ)\) が成り立つ。
またmを自然数として、
\((cosθ+isinθ)^{-m}=\frac{1}{cosmθ+isinmθ}\)
\(=\frac{cosmθ-isinmθ}{(cosmθ+isinmθ)(cosmθ-isinmθ)}\)
\(=\frac{cosmθ-isinmθ}{(cos^{2}mθ+sin^{2}mθ)}\)
\(=cosmθ-isinmθ\)
\(=cos(-mθ)+isin(-mθ)\)
\(z=r(cosθ+isinθ)⇒z^n=r^n(cosnθ+isinnθ)\)
\(sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα\)
\(cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos^2α-sin^2α\)
\(sin^2α+cos^2=1\)
\(cos^2α=1-sin^2α\)より
\(=1-sin^2α-sin^2α=1-2sin^2α\)
\(sin^2α=1-cos^2α\)より
\(=cos^2α-(1-cos^2α)=-1+2cos^2α\)
\(tan(α+α)=\frac{tanα+tanα}{1-tanαtanα}=\frac{2tanα}{1-tan^2α}\)
\(cos2α=1-2sin^2α\)
\(1-2sin^2α=cos2α\)
\(-2sin^2α=-1+cos2α\)
\(sin^2α=\frac{1-cos2α}{2}\)
\(cos2α=-1+2cos^2α\)
\(-1+2cos^2α=cos2α\)
\(2cos^2α=1+cos2α\)
\(cos^2α=\frac{1+cos2α}{2}\)
\(tan^2α=(\frac{sinα}{cosα})^2=\frac{sin^2α}{cos^2α}\)
\(=\frac{\frac{1-cos2α}{2}}{\frac{1+cos2α}{2}}=\frac{1-cos2α}{1+cos2α}\)
\(cos(2 \times \frac{α}{2})=1-2sin^2(\frac{α}{2})\)
\(cos(α)=1-2sin^2(\frac{α}{2})\)
\(-2sin^2(\frac{α}{2})+1=cos(α)\)
\(-2sin^2(\frac{α}{2})=-1+cos(α)\)
\(sin^2(\frac{α}{2})=\frac{1-cos(α)}{2}\)
\(cos(2 \times \frac{α}{2})=-1+2cos^2(\frac{α}{2})\)
\(cos(α)=-1+2cos^2(\frac{α}{2})\)
\(-1+2cos^2(\frac{α}{2})=cos(α)\)
\(2cos^2(\frac{α}{2})=1+cos(α)\)
\(cos^2(\frac{α}{2})=\frac{1+cos(α)}{2}\)
\(tan^2(\frac{α}{2})=\frac{1-cos(2 \times \frac{α}{2})}{1+cos(2 \times \frac{α}{2})}=\frac{1-cosα}{1+cosα}\)
\(tan(α+β)=\frac{sin(α+β)}{cos(α+β)}\)
\(=\frac{sinαcosβ+cosαsinβ}{cosαcosβ-sinαsinβ}\)
分母と分子をcosαcosβで割って、
\(=\frac{\frac{sinαcosβ}{cosαcosβ}+\frac{cosαsinβ}{cosαcosβ}}{\frac{cosαcosβ}{cosαcosβ}-\frac{sinαsinβ}{cosαcosβ}}\)
\(=\frac{\frac{sinα}{cosα}+\frac{sinβ}{cosβ}}{1-\frac{sinα}{cosα}\frac{sinβ}{cosβ}}\)
\(=\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}\)
\(z=r(cosθ+sinθi)\)とする。
\(-z=r(-cosθ-sinθi)=r(cos(θ+π)+sin(θ+π))\) 原点を挟んで対称。
\(\overline{z}=r(cosθ-sinθi)=r(cos(-θ)+sin(-θ))\) 実軸を挟んで対称。
\(\overline{-z}=-r(cosθ-sinθi)=r(-cosθ+sinθi)=r(cos(π-θ)+sin(π-θ))\) 虚軸を挟んで対称。
\(\frac{(cosα+sinαi)}{(cosβ+sinβi)}\)
\(=\frac{(cosα+sinαi)(cosβ-sinβi)}{(cosβ+sinβi)(cosβ-sinβi)}\)
\(=\frac{(cosαcosβ-cosαsinβi+sinαcosβi+sinαsinβ)}{(cos^2β+sin^2β)}\)
\(=cosαcosβ+sinαsinβ+(sinαcosβ-cosαsinβ)i\)
\(cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ\)
\(sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ\) より、
\(=(cos(α-β)+sin(α-β)i)\)
αが実軸上にあれば\(\overline{α}=α\)、αが虚軸上にあれば\(\overline{α}=-α\)なので、
αが実数⇔\(\overline{α}=α\)
αが純虚数⇔\(\overline{α}=-α\)
\(\sqrt{2}\)を1.4141...で近似する時、\(\sqrt{2}\)を分数で表わせ。
x=1.4141...とすると、100x=141.4141...。
100x-x=141.4141... - 1.4141...
99x=140
\(x=\frac{140}{99}\)
循環小数の部分を引き算で消す。
平行線の同位角は等しい。角の対頂角は等しい。よって平行線の錯角は等しい。
複素数zに複素数αを掛けることの図形的意味を考える。αの偏角をθとすると、
|αz|=|α||z| argαz=argα+argz=argθ+argz
よって、zにαを掛ける ⇔ 点zを原点を中心として角θだけ回転させ、さらに原点からの距離(絶対値)を|α|倍する。
となる。
\(z_1=r_1(cosθ_1+isinθ_1), z_2=r_2(cosθ_2+isinθ_2), r_1>0,r_2>0\)とすると、
\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1(cosθ_1+isinθ_1)}{r_2(cosθ_2+isinθ_2)}\)
\(=\frac{r_1}{r_2}\frac{(cosθ_1+isinθ_1)}{(cosθ_2+isinθ_2)}\)
分母と分子に\((cosθ_2-isinθ_2)\)を掛けて、
\(=\frac{r_1}{r_2} \times \frac{(cosθ_1+isinθ_1)(cosθ_2-isinθ_2)}{(cosθ_2+isinθ_2)(cosθ_2-isinθ_2)}\)
\(=\frac{r_1}{r_2} \times \frac{(cosθ_1 \times cosθ_2 - cosθ_1 \times isinθ_2 + cosθ_2 \times sinθ_1 + sinθ_1 \times sinθ_2}{(cos^2θ_2-isin^2θ_2)}\)
\(=\frac{r_1}{r_2} \times \frac{(cosθ_1 \times cosθ_2 + sinθ_1 \times sinθ_2) + i (sinθ_1 \times cosθ_2 - cosθ_1 \times sinθ_2)}{1}\)
加法定理により、
\(\frac{r_1}{r_2} \times \{(cos(θ_1-θ_2))+isin(θ_1-θ_2)\}\)
よって、
\(\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2} \times \{(cos(θ_1-θ_2))+isin(θ_1-θ_2)\}\)
絶対値は\(\frac{r_1}{r_2}\)、偏角は\(θ_1-θ_2\)。
ゆえに
\(\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}, arg\frac{z_1}{z_2}=argz_1-argz_2\)
積αβの絶対値は掛ける、偏角は加える。
商\(\frac{α}{β}\)の絶対値は割る、偏角は引く。
偏角θは、0≦θ≦2πの範囲ではただ一通りに定まる。
これを\(θ_0\)とすると、複素数zの偏角は一般に\(argz=θ_0+2nπ\)(nは整数)と表される。(\(θ_0\)から単位円上をn周する)
例えば\(z=-1+\sqrt{3}i\)では\(arg(-1+\sqrt{3}i)=\frac{2}{3}π+2nπ\)である。
また、z=0の時絶対値|z|=0で、偏角は定まらない。
0でない2つの複素数\(z_1, z_2\)を極形式で表して、
\(z_{1}=r_1(cosθ_1+isinθ_1) [r_1>0]\)
\(z_{2}=r_2(cosθ_2+isinθ_2) [r_2>0]\)
とし、積\(z_{1} \times z_{2}\)を計算すると、
\(z_{1}z_{2}=r_1r_2(cosθ_1+isinθ_1)(cosθ_2+isinθ_2)\)
\(=r_1r_2(cosθ_1cosθ_2+cosθ_1isinθ_2+cosθ_2isinθ_1-sinθ_1sinθ_2)\)
\(=r_1r_2(cosθ_1cosθ_2-sinθ_1sinθ_2+i(cosθ_1sinθ_2+sinθ_1cosθ_2))\)
加法定理により、
\(=r_1r_2(cos(θ_1+θ_2)+i(sin(θ_1+θ_2)))\)
よって、\(z_{1} \times z_{2}\)の絶対値は\(r_1r_2\)、偏角は\(θ_1+θ_2\)なので、
\(|z_{1} \times z_{2}|=|z_{1}||z_{2}|, argz_{1}z_{2}=argz_{1}+argz_{2}\)
が成り立つ。
複素数\(z=\sqrt{3}+i\)を表す点をPとすると、\(OP=|z|=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=2\)
線分OPが実軸の正の部分となす角は\(\frac{π}{6}\)なので、
\(\sqrt{3}=2cos\frac{π}{6}, 1=2sin\frac{π}{6}\)
よって、
\(z=\sqrt{3}+i=2cos\frac{π}{6}+2sin\frac{π}{6}=2(cos\frac{π}{6}+isin\frac{π}{6})\)
一般に、0でない複素数z=a+biを表す点をPとし、OP=rとすると
\(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
線分OPが実軸の正の部分となす角をθとすると、a=rcosθ、b=rsinθ(θは弧度法)と表されるので、
z=r(cosθ+isinθ) [r>0]
これを複素数の極形式と言う。
z=a+biの絶対値rは\(r=\sqrt{a^2+b^2}\)、偏角θは\(cosθ=\frac{a}{r}, sinθ=\frac{b}{r}\)
から求める。
単位円上で動径OA,OBの表す角を、それぞれα,βとすると、2点A,B間の距離は、
\(AB^2=(cosβ-cosα)^2+(sinβ-sinα)^2\)
\(=cos^2β-2cosβcosα+cos^2α+sin^2β-2sinβsinα+sin^2α\)
\(=(cos^2β+sin^2β)+(cos^2α+sin^2α)-2(cosβcosα+sinβsinα)\)
\(sin^2θ+cos^2θ=1\)より、
\(=1+1-2(cosβcosα+sinβsinα)\)
\(=2-2(cosβcosα+sinβsinα)\)
一方、⊿OABで余弦定理\(AB^2=AO^2+BO^2-2AO \times BO cos(α-β)\)を用いると、単位円なのでAO=BO=1より、
\(AB^2=1^2+1^2-2 \times 1 \times 1 \times cos(α-β)\)
\(=1+1-2 \times cos(α-β)\)
\(=2-2 \times cos(α-β)\)
となり、
\(2-2 \times cos(α-β)=2-2(cosβcosα+sinβsinα)\)
\(-2 \times cos(α-β)=-2(cosβcosα+sinβsinα)\)
両辺を-2で割って、
\(cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ\)
が導かれる。
\(cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ\)でβを-βに置き換えると、
\(cos(α-(-β))=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)\)
cos(-β)=cos(β)、sin(-β)=-sin(β)より、
\(cos(α+β)=cosαcos(β)-sinαsin(β)\)
\(cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ\)でαを\(\frac{π}{2}-α\)に置き換えると、
\(cos\{(\frac{π}{2}-α)-β\}=cos\{(\frac{π}{2}-α)\}cosβ+sin\{(\frac{π}{2}-α)\}sinβ\)
単位円上の第一象限で三角形をひっくり返して、
\(cos\{(\frac{π}{2}-α)\}=sinα\)
\(sin\{(\frac{π}{2}-α)\}=cosα\)
なので、
\(cos\{(\frac{π}{2}-α)-β\}=sinαcosβ+cosαsinβ\)。
一方、
\(cos\{(\frac{π}{2}-α)-β\}=cos\{\frac{π}{2}-α-β\}=cos\{(\frac{π}{2}-(α+β)\}\)
(α+β)をAと置いて、
\(cos\{(\frac{π}{2}-A)\}=sinA\)
従って、
\(sinA=sinαcosβ+cosαsinβ\)
\(sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ\)
βを-βに置き換えて、
\(cos(α-(-β))=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)\)でαを\(\frac{π}{2}-α\)に置き換えると、
\(cos\{(\frac{π}{2}-α)-(-β)\}=cos\{(\frac{π}{2}-α)\}cos(-β)+sin\{(\frac{π}{2}-α)\}sin(-β)\)
単位円上の第一象限で三角形をひっくり返して、
\(cos\{(\frac{π}{2}-α))\}=sinα\)
\(sin\{(\frac{π}{2}-α))\}=cosα\)
単位円上の第一象限と第四象限で三角形をひっくり返して、
\(cos(-β)=cosβ\)
\(sin(-β)=-sinβ\)
なので、
\(cos\{(\frac{π}{2}-α)-(-β)\}=sinαcosβ-cosαsinβ\)。
一方、
\(cos\{(\frac{π}{2}-α)-(-β)\}=cos\{\frac{π}{2}-α+β\}=cos\{(\frac{π}{2}-(α-β)\}\)
(α-β)をAと置いて、
\(cos\{(\frac{π}{2}-A)\}=sinA\)
従って、
\(sinA=sinαcosβ-cosαsinβ\)
\(sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ\)
実数kと複素数α=a+biについて、kα=ka+kbiである。
よって、α≠0の時、点kαは2点0,αを通る直線l上にある。
逆に、この直線l上の点は、αの実数倍の複素数を表す。
A(α), B(kα)とすると、線分OBの長さは線分OAの長さの|k|倍である。すなわち、OB=|k|OAである。
一般に、O(0), P(z), A(α)が一直線上にない時線分OPと線分OAを2辺とする平行四辺形を作ると、新しく出来た頂点Bが和z+αを表す点である。
和z+αの表す点は、原点Oを点αに移す平行移動によって点zが移る点である。
差z-αの表す点は、点αを原点Oに移す平行移動によって点zが移る点である。
曲線y=f(x)上の点(a,f(a))における接線の方程式は、
y-f(a)=f'(a)(x-a)
である。
区間a≦x≦bでf(x)≧g(x)の時、2曲線y=f(x),y=g(x)および2直線x=a,x=bで囲まれた部分の面積Sは、
\(S=\int_a^b \{ f(x)-g(x) \} dx\)
である。
初項a、公差dの等差数列の一般項は、
\(a_{n}=a+(n-1)d\)
である。
\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
\(θ = θ° \times \frac{π}{180}\) [rad]
xの多項式P(x)について、P(a)=0⇔P(x)はx-aで割り切れる。
\(|-α|=|a-bi|=\sqrt{a^2+b^2}=|α|\)
\(α\overline{α}=(a+bi)(a-bi)=a^{2}-b^{2}i^{2}=a^{2}+b^{2}=|α|^{2}\)
\(|αβ|^{2}=αβ(\overline{αβ})=α\overline{α}β\overline{β}=|α|^{2}|β|^{2}=(|α||β|)^{2}\)
|αβ|≧0、|α||β|≧0なので、
|αβ|=|α||β|
|αβ|=|α||β|でαを\(|\frac{α}{β}|\)と置いて、
\(|\frac{α}{β}||β|=|\frac{α}{β} \times β|=|α|\)
従って
\(|\frac{α}{β}|=\frac{|α|}{|β|}\)
命題「p⇒q」が成り立つことと、包含関係「p∈q」が成り立つことは同値である。
角の二等分線は、
AB : AC = BD : CD
点Cを通りADと平行な直線とBAの交点をEとする。
AD // ECより、平行線の同位角は等しいので、
∠BAD = ∠AEC
平行線の錯角は等しいので、
∠DAC = ∠ACE
仮定より、
∠BAD = ∠DAC
よって、
∠AEC = ∠ACE 。これにより⊿ACEはAC=AEの二等辺三角形である。
ここでAD // ECより、⊿BCEにおいて、
BD : DC = BA : AE である。
AC=AEなので、
従って、BD : DC = AB : AC。
命題「p⇒q」が真の時、pはqであるための「十分条件」と言う。
命題「q⇒p」が真の時、pはqであるための「必要条件」と言う。
因数分解して指数の大きい方を掛ける。
\(\forall\)(全ての) : 一つでも偽があれば偽になる。
\(\exists\)(とある) : 一つでも真があれば真になる。
\(P∧Q\) 積
\(P∨Q\) 和
有限集合A,Bについて
\(n(A∨B)=n(A)+n(B)-n(A∧B)\)
重複して数えた個数を引く。
\(\overline{A∧B}=\overline{A}∨\overline{B}\)
\(\overline{A∨B}=\overline{A}∧\overline{B}\)
\(S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}casinB=\frac{1}{2}absinC\)
三角形の頂点から底辺に垂線を下ろすと、垂線はcsinBもしくはbsinCとなる。
三角形の面積は、\(\frac{1}{2}\) x 底辺a x 高さ csinB もしくはbsinCなので、
\(S=\frac{1}{2}casinB=\frac{1}{2}absinC\)。
頂点CからABに垂線を引いて同様、\(S=\frac{1}{2}bcsinA\)
\((a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)
\((a+b)^{3}=(a^2+2ab+b^2)(a+b)\)
\(=a^3+2a^2b+ab^2+a^2b+2ab^2+b^3\)
\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
単位円上の点の、x座標をcosθ、y座標をsinθと定義する。三平方の定理より、\(a^2 + b^2 = r^2\)
両辺を\(a^2\)で割ると、
\(1+(\frac{b}{a})^{2}=(\frac{r}{a})^{2}\)
\(=1+tan^{2}θ=\frac{1}{cos^{2}θ}\)
また、
\(\frac{b}{a}=\frac{r}{a} \times \frac{b}{r}\) より
\(tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}\)
\(sin^{2}θ + cos^{2}θ = 1\)
単位円上の点の、x座標をcosθ、y座標をsinθと定義するので、三平方の定理より。
単位円上の点の、x座標をcosθ、y座標をsinθと定義するので、
単位円上の第一象限で三角形をひっくり返して、
\(sin(90°-θ)=cosθ\)
\(cos(90°-θ)=sinθ\)
\(tan(θ)=\frac{sin(θ)}{cos(θ)}\)より、
\(tan(90°-θ)=\frac{sin(90°-θ)}{cos(90°-θ)}\)
\(=\frac{cos(θ)}{sin(θ)}\)
\(=\frac{1}{tan(θ)}\)
単位円上の第一象限と第二象限で三角形をひっくり返して、
\(sin(180°-θ)=sinθ\)
\(cos(180°-θ)=-cosθ\)
\(tan(180°-θ)=\frac{sin(180°-θ)}{cos(180°-θ)}\)
\(=\frac{sin(θ)}{-cos(θ)}\)
\(=-tanθ\)
不等式\(f(x)>0\)の解は、関数\(y=f(x)\)のグラフにおいて、y座標の値が正となるようなx座標の範囲にほかならない。
関数\(y=f(x)\)のグラフとx軸との交点または接点のx座標は、方程式\(f(x)=0\)の実数解である。
方程式\(f(x)=0\)の実数解を\(x=a\)とすると、\(f(a)=0\)で、これは関数\(y=f(x)\)のグラフでx座標がaの時、y座標が0になることを意味している。
関数\(y=f(x)\)のグラフをx軸方向にa、y軸方向にbだけ平行移動したグラフを表す関数は、\(y=f(x-a)+b\)になる。
\(\sigma(ax+b)=\sqrt{V(ax+b)}=\sqrt{a^{2}V(X)}=\sqrt{a^{2}}\sqrt{V(X)}=|a|\sigma(X)\)
2次関数\(y=ax^{2}+bx+c\)の右辺を平方完成して、
\(y=a(x^{2}+\frac{b}{a})+c\)
\(y=a(x+\frac{b}{2a})^{2}-(a \times \frac{b^{2}}{4a^{2}}) +c\)
\(y=a(x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{b^{2}}{4a} +c\)
\(y=a(x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{b^{2}}{4a} +\frac{4ac}{4a}\)
\(y=a(x+\frac{b}{2a})^{2}+\frac{-b^{2}+4ac}{4a}\)
\(y=a(x+\frac{b}{2a})^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a}\)
この2次関数のグラフは点\((-\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}-4ac}{4a})\)を頂点とする放物線になる。
2次関数\(y=ax^{2}+bx+c\)を微分して、\(y'=2ax+b\)。
よって、\(x=-\frac{b}{2a}\)の時にy'=0となるので、
\(y=a \times (-\frac{b}{2a})^{2} + b \times -\frac{b}{2a} +c\)
\(y=a \times \frac{b^{2}}{4a^{2}} + -\frac{b^{2}}{2a} +c\)
\(y= \frac{b^{2}}{4a} + -\frac{b^{2}}{2a} +c\)
\(y= \frac{b^{2}}{4a} + -\frac{2b^{2}}{4a} +c\)
\(y= -\frac{b^{2}}{4a} +c\)
\(y= -\frac{b^{2}}{4a} +\frac{4ac}{4a}\)
\(y= \frac{-b^{2}+4ac}{4a}\)
\(y= -\frac{b^{2}-4ac}{4a}\)
よって、\(a>0\)の時、
\( \begin{array}{c|c c c} x & \cdots & -\frac{b}{2a} & \cdots \\ \hline y' & - & 0 & ＋ \\ \hline y & \searrow & -\frac{b^{2}-4ac}{4a} & \nearrow \\ \end{array} \)
となり、\(a<0\)の時、
\( \begin{array}{c|c c c} x & \cdots & -\frac{b}{2a} & \cdots \\ \hline y' & ＋ & 0 & - \\ \hline y & \nearrow & -\frac{b^{2}-4ac}{4a} & \searrow \\ \end{array} \)
となり、\((-\frac{b}{2a},-\frac{b^{2}-4ac}{4a})\)の際に極値を取る。
あるものに対してものを対応させる規則を写像と言う。特に、ある数に対して数を対応させる規則を関数という。
2次方程式\(ax^{2}+bx+c=0\)の左辺を\((px+q)(rx+s)=0\)の形に因数分解できる時、\(x=-\frac{q}{p}、x=-\frac{s}{r}\)が2次方程式の解になる。
\((p(-\frac{q}{p})+q)(rx+s)=0\)
\((-q+q)(rx+s)=0\)
\(0=0\)
\((px+q)(r(-\frac{s}{r})+s)=0\)
\((px+q)(-s+s)=0\)
\(0=0\)
1,2,3,4,5の5個の玉を袋に入れ、袋の中から玉を1個取り出して番号を確認してから袋に戻す。
玉の番号の確認を3回行う時、1の玉がちょうど一回出る確率を求める。1回の試行で1の玉が1回だけ出る場合は、
| 1回目 | 2回目 | 3回目 | |
| 1 | × | × | [1] |
| × | 1 | × | [2] |
| × | × | 1 | [3] |
の、\({}_3 C_1\)通りある。
また、[1]のようになる確率は、
\(\frac{1}{5} \times (1-\frac{1}{5}) \times (1-\frac{1}{5})=\frac{1}{5} \times (1-\frac{1}{5})^{2}\)
となる。同様にして[2]、[3]のようになる確率もそれぞれ、
\(\frac{1}{5} \times (1-\frac{1}{5})^{2}\)
となる。
よって、求める確率は、
\({}_3 C_1 \times \frac{1}{5} \times (1-\frac{1}{5})^{2}\)
一般に、次が成り立つ。
1回の試行で事象Aの起きる確率をpとする。この試行をn回行う反復試行で、Aがちょうどr回起こる確率は、
\({}_n C_r \times p^{r} \times (1-p)^{n-r}\)
である。
一般にn回の反復試行において、事象Aの起こる回数をXすると、Xは確率変数で、その確率分布は次の表のようになる。
\[ \begin{array}{c|c c c c c c|c} \hline X & 0 & 1 & \cdots & r & \cdots & n & 計 \\ \hline P & {}_n C_0 \times q^{n} & {}_n C_1 \times pq^{n-1} & \cdots & {}_n C_r \times p{r}q^{n-r} & \cdots & {}_n C_n \times p^{n} & 1 \\ \hline \end{array} \]
この表で与えられる確率分布を二項分布といい、B(n,p)で表す。また、確率変数Xは二項分布B(n,p)に従うと言う。
1回の試行で事象Aが起こる確率がpである試行をn回行う時、k回目の試行で事象Aが起これば1、起こらなければ0の値の値をとる確率変数を\(X_k\)とする。
\(P(X_k=1)=p、1-p=qと置き、P(X_k=0)=q\)
この時、
\(E(X_{k})=1 \times p=p\)
\(E(X_{k}^{2})=1^{2} \times p=p\)
\(V(X_{k})=p-p^{2}=p(1-p)=pq\)
よって、
\(X=\sum\limits_{n}^{k=1} X_{k}\)
と置くと、確率変数Xはn回の反復試行において事象Aが起こる回数を示すので、二項分布に従う。従って、
\(E(X)=\sum\limits_{n}^{k=1}E(X_{k})=np\)
\(X_{k}\)は互いに独立なので、
\(V(X)=\sum\limits_{n}^{k=1}V(X_k)=npq\)
標準偏差は、
\(\sigma(X)=\sqrt{npq}\)
\((x^{n})'=nx^{n-1}、cが定数の時(c)'=0\)
\(\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)
\(\int_a^b f(x) dx=\left[F(x)\right]^a_b=F(b)-F(a)\)
\((a+b)(a-b)=a^{2}-ab+ab-b^{2}=a^{2}-b^{2}\)
赤玉2個、白玉1個が入った袋から玉を同時に2個取り出す時の赤玉の個数をX、白玉の個数をYとすると、確率分布は表のようになる。
全事象 \({}_3 C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3\) 3通り。
赤、白
白、赤
赤、赤
| X | 1 | 2 | 計 |
| P | 2/3 | 1/3 | 1 |
| Y | 0 | 1 | 計 |
| P | 1/3 | 2/3 | 1 |
X=aかつY=bの確率をP(X=a,Y=b)で表すと、
P(X=1,Y=0) p1 P(X=1,Y=1) p2 P(X=2,Y=0) p3 P(X=2,Y=1) p4
(X=1,Y=0)と(X=2,Y=1)はありえないので、p1とp4は0。
\(p1=0, p2=\frac{2}{3}, p3=\frac{1}{3}, p4=0\)
\(p1+p2=\frac{2}{3}, p3+p4=\frac{1}{3}, p1+p3=\frac{1}{3}, p2+p4=\frac{2}{3}\)
これらを表にすると、
| X\Y | 0 | 1 | 計 |
| 1 | p1 | p2 | 2/3 |
| 2 | p3 | p4 | 1/3 |
| 1/3 | 2/3 | 1 |
このような対応をXとYの同時分布と言う。X,Yの和をZとすると、Zも確率変数である。
よってZの期待値は、
\(E(Z)=(1+0)p1 + (1+1)p2 + (2+0)p3 + (1+1)p4\)
\(=0+2 \times \frac{2}{3} + 2 \times \frac{1}{3} + 0\)
\(=\frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2\)
\(E(X)=1 \times \frac{2}{3} + 2 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)
\(E(Y)=0 \times \frac{1}{3} + 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\)
\(E(X) + E(Y)=\frac{4}{3} + \frac{2}{3}=\frac{6}{3}=2\)
であるからE(Z)=E(X)+E(Y)が成り立つ。
一般に、2つの確率変数X,Yについて、
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
が成り立つ。同様に3つの確率変数X,Y,Zについて、
E(X+Y+Z)=E(X)+E(Y)+E(Z)
が成り立つ。これは、4つ以上の確率変数についても同様に成り立つ。
E(aX+bY)=E(aX)+E(bY)=a(E(X))+b(E(Y))
2つの確率変数X,Yを考える。Xの取る値aとYの取る値bに対して、P(X=a,Y=b)=(P(X=a)) x (P(Y=b))がa,bの取り方に関係なく成り立つ時、確率変数X,Yは互いに独立である、と言う。
特に2つの試行SとTが独立の時、Sの結果によって定まる確率変数Xと、Tの結果によって定まる確率変数Yは独立である。
一般に、2つの確率変数X,Yが互いに独立の時、E(XY)=E(X)E(Y)が成り立つ。
| X | x1 | x2 | 計 |
| P | p1 | p2 | 1 |
| Y | y1 | y2 | 計 |
| P | q1 | q2 | 1 |
| X\Y | y1 | y2 | 計 |
| x1 | p1q1 | p1q2 | p1 |
| x2 | p2q1 | p2q2 | p2 |
| q1 | q2 | 1 |
p1q1+p1q2=p1(q1+q2)
(q1+q2)=1なので、
= p1。以下同様。
同様に、確率変数X,Y,Zについて、
P(X=a,Y=b,Z=c)=P(X=a)P(Y=b)P(Z=c)
が成り立つ時、X,Y,Zは互いに独立であると言い、E(XYZ)=E(X)E(Y)E(Z)が成り立つ。
2つの確率変数X,Yが互いに独立の時、和X+Yの分散を求める。
\(V(X+Y)=E((X+Y)^{2})-\biggl\{E(X+Y)\biggr\}^{2}\)
\(E((X+Y)^{2})=E(X^{2}+2XY+Y^{2})=E(X^{2})+2E(XY)+E(Y^{2})\)
\(\biggl\{E(X+Y)\biggr\}^{2}=\biggl\{E(X)+E(Y)\biggr\}^{2}=E(X)^{2}+2E(X)E(Y)+E(Y)^{2}\)
また、X,Yが互いに独立なので、
E(XY)=E(X)E(Y)
以上より、
\(V(X+Y)=E(X^{2}+2XY+Y^{2})=E(X^{2})+2E(X)E(Y)+E(Y^{2}) - E(X)^{2} - 2E(X)E(Y) - E(Y)^{2}\)
\(=\biggl\{E(X^{2}) - \biggl\{E(X)\biggr\}^{2}\biggr\} + \biggl\{E(Y^{2} - \biggl\{E(Y)\biggr\}^{2})\biggr\}\)
\(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\)
一般に、2つの確率変数X,Yが独立の時、V(X+Y)=V(X)+V(Y)。
同様に、確率変数X,Y,Zが独立の時、V(X+Y+Z)=V(X)+V(Y)+V(Z)。
一般に確率変数Xの確率分布が
| X | x1 | x2 | ... | 計 |
| P | p1 | p2 | ... | 1 |
で与えられている時、
\(x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2} \cdots x_{n}p_{n}=\sum\limits_{n}^{k=1} x_{n}p_{n}\)
をXの期待値または平均といい、E(X)またはmで表す。
\(E(X^{2})=\sum\limits_{n}^{k=1} x^{2}_{n}p_{n}\)
\(E(aX+b)=\sum\limits_{n}^{k=1} (ax_k+b)p_k = a \sum\limits_{n}^{k=1} x_k p_k + b \sum\limits_{n}^{k=1} p_k\)
\(\sum\limits_{n}^{k=1} p_k=1\)なので、
\(=aE(X) + b\)
\(V(aX+b)=\sum\limits_{n}^{k=1} \biggl\{(ax_k+b)-m'\biggr\}^{2} p_k\)
m'=E(aX+b)=aE(X)+b=am+bなので、
\(~~~~=\sum\limits_{n}^{k=1} \biggl\{(ax_k+b)-(am+b)\biggr\}^{2} p_k\)
\(~~~~=\sum\limits_{n}^{k=1} (ax_k+b-am-b)^{2} p_k\)
\(~~~~=\sum\limits_{n}^{k=1} (ax_k-am)^{2} p_k\)
\(~~~~=\sum\limits_{n}^{k=1} \biggl\{a(x_k-m)\biggr\}^{2} p_k\)
\(~~~~=\sum\limits_{n}^{k=1} a^{2}(x_k-m)^{2} p_k\)
\(~~~~=a^{2} \sum\limits_{n}^{k=1} (x_k-m)^{2} p_k\)
\(V(X)=\sum\limits_{n}^{k=1} (x_k-m)^{2} p_k\) より、
\(V(aX+b)=a^{2}V(X)\)
変量xのデータの値がx1,x2...xnで、その平均値が\(\overline{x}\)の時、
\(S^{2}=\frac{1}{n} \biggl\{(x_1-\overline{x})^{2} + (x_2-\overline{x})^{2} \cdots (x_n-\overline{x})^{2}\biggr\} \)
Xの期待値E(X)をmとすると、
分散V
\(V(x)=E((X-m)^{2})\)
\(~~~~=(x_{1}-m)^{2}p_{1}+(x_{2}-m)^{2}p_{2} \cdots (x_{n}-m)^{2}p_n\)
\(~~~~=\sum\limits_{n}^{k=1} (x_{k}-m)^{2}p_{k}\)
\(~~~~=\sum\limits_{n}^{k=1} (x^{2}_{k} - 2mx_{k} + m^{2})p_{k}\)
\(~~~~=\sum\limits_{n}^{k=1} (x^{2}_{k}p_{k} - 2mx_{k}p_{k} + m^{2}p_{k})\)
\(~~~~=\sum\limits_{n}^{k=1} (x^{2}_{k}p_{k}) - 2m \sum\limits_{n}^{k=1} (x_{k}p_{k}) + \sum\limits_{n}^{k=1} (m^{2}p_{k})\)
\(~~~~=\sum\limits_{n}^{k=1} (x^{2}_{k}p_{k}) - 2m \sum\limits_{n}^{k=1} (x_{k}p_{k}) + m^{2} \sum\limits_{n}^{k=1} (p_{k})\)
\(\sum\limits_{n}^{k=1} (p_{k})=1\)より、
\(~~~~=E(X^{2}) - 2 \times E(X) \times E(X) + m^{2}\)
\(~~~~=E(X^{2}) - 2 \times E(X) \times E(X) + \biggl\{{E(X)}\biggr\}^{2} \)
\(~~~~=E(X^{2}) - 2 \times \biggl\{{E(X)}\biggr\}^{2} + \biggl\{{E(X)}\biggr\}^{2} \)
\(~~~~=E(X^{2}) - \biggl\{{E(X)}\biggr\}^{2} \)
三平方の定理\(x^2+y^2=r^2\)より、
\(tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}\)
\(sin^{2}θ+cos^{2}θ=1\)
\(1+tan^{2}θ=\frac{1}{cos^{2}θ}\)
\(tan^{2}θ=\frac{sin^{2}θ}{cos^{2}θ}\)
\(sin^{2}θ=1-cos^{2}θ\)なので、
\(tan^{2}θ=\frac{1-cos^{2}θ}{cos^{2}θ}\)
\(tan^{2}θ=\frac{1}{cos^{2}θ}-\frac{cos^{2}θ}{cos^{2}θ}\)
\(tan^{2}θ=\frac{1}{cos^{2}θ}-1\)
\(1+tan^{2}θ=\frac{1}{cos^{2}θ}\)
円周角の定理 : 1つの弧に対する円周角の大きさは全て等しく、\((円周角)=\frac{1}{2}(中心角)\) 特に、半円の弧に対する円周角は90°。
⊿ABCの外接円の中心をO、半径をRとする。
[1] 0°<A<90°のとき
円周角の定理により、∠BCD=90°、∠A=∠D
BD=2Rなので \(sinD=\frac{a}{2R}\) また sinA=sinD
従って、
\(sinA=\frac{a}{2R}\)
\(sinA × 2R=a\)
\(2R=\frac{a}{sinA}\)
\(\frac{a}{sinA}=2R\)
[2] A=90°のとき
a=2R、sinA=sin90°=1
従って、\(\frac{a}{sinA}=2R\)
[3] 90°<Aのとき
\(sinD=\frac{a}{2R}\)、A+D=180°
sinD=(180°-A)=sinA
従って、\(\frac{a}{sinA}=2R\)
座標平面上に⊿ABCを頂点Aが原点、辺ABがx軸の正の部分、頂点Cがx軸の上方にあるようにする。
頂点Cから辺ABまたはその延長に垂線CHを繋げると、点Hは
[1] 辺AB上 [2] 辺ABの右外 [3] 辺ABの左外
のいずれかにある。線分CHの長さは、点Cのy座標bsinAで表され、線分BHの長さは、
[1] BH=c - bcosA [2] BH=bcosA - c [3] BH=c + (-bcosA)
となる。
ここで、⊿BCHに三平方の定理を適用すると、
\(a^2=BC^2=BH^2+CH^2\)
\(~~~=(c-bcosA)^{2}+(bsinA)^{2}\)
\(~~~=c^2 - 2c × bcosA + b^{2}cos^{2}A + b^{2}sin^{2}A\)
\(~~~=c^2 - 2c × bcosA + b^{2}(cos^{2}A + sin^{2}A)\)
\(sin^{2}θ+cos^{2}θ=1\) より、
\(~~~=c^2 - 2c × bcosA + b^{2}\)
従って、
\(a^2 =c^2 + b^{2} - 2c × bcosA\)
三角形を回転させて、他の辺も同様。
\(y-y_{1}=\frac{(y_{2}-y_{1})}{(x_{2}-x_{1})}(x-x_{1})\)
\({}_{n+r-1} C_r\)
「n種類のものから重複を許してr個選ぶ方法」と「r個の○とn-1個の仕切りを一列に並べる方法」は1対1に対応するので、そのような場合の数は\({}_{n+r-1} C_r\)となる。
\({}_n C_r = {}_n C_{n-r}\)
n個の内からr個選ぶのと、n個の内からrでないのを選ぶのは裏返しで同じことなので、\({}_n C_r = {}_n C_{n-r}\)が成り立つ。
\(\sum\limits_{k=n+1}^{2n} k\)
はn+1から始まって2nまでの和なので、
\(\sum\limits_{k=1}^{2n} k - \sum\limits_{k=1}^{n} k\)
である。
一般に、{(等差数列) x (等比数列)}型の数列の和を求めるには、S-rS(rは等比数列部分の公比)を計算して等比数列の和を導き出す。
例えば、\(1+2x+3x^2+4x^3+ \cdots +nx^{n-1}\)の和Sは、次のように表される。
x=1の場合 \(S=1+2+3+ \cdots +n=\frac{1}{2}n(n+1)\)
x≠1の場合 S-xSを計算する。
\(~~~~~~1+2x+3x^2+4x^3+ \cdots +nx^{n-1}\)
\(\underline{-) ~ x+2x^2+3x^3+ \cdots +(n-1)x^{n-1}+nx^n}\)
\((1+x+x^2+x^3+x^4+ \cdots +x^{n-1})-nx^n\)
()でくくった部分は、初項1、公比x、項数nの等比数列の和なので、
\(S-xS=\frac{1 \times (1-x^n)}{(1-x)}-nx^n\)
\(=\frac{(1-x^n)}{(1-x)}-nx^n\)
\(=\frac{1-x^n-nx^n-nx^{n+1}}{(1-x)}\)
\(S-xS=\frac{1-(1+n)x^n-nx^{n+1}}{(1-x)}\)
\((1-x)S=\frac{1-(1+n)x^n-nx^{n+1}}{(1-x)}\)
\(S=\frac{1-(1+n)x^n-nx^{n+1}}{(1-x)^2}\)
\(a≠bの時、\frac{1}{(x+a)(x+b)}=\frac{1}{b-a}(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x+b})\)
\(\frac{1}{b-a}(\frac{1}{x+a}-\frac{1}{x+b})\)
\(=\frac{1}{b-a}(\frac{x+b-x-a}{(x+a)(x+b)})\)
\(=\frac{1}{b-a}(\frac{b-a}{(x+a)(x+b)})\)
\(=\frac{1}{(x+a)(x+b)}\)
\(1+3+5 \cdots +(2n-1)=n^2\)
\(\frac{1}{2}n(1+2n-1)=\frac{1}{2}n(2n)=n^2\)
\(M=a^p\)となるpを、\(p=\log{a} M\)と記述する。従って、
\(\log{a} MN=\log{a} M + \log{a} N\)
\(\log{a} \frac{M}{N}=\log{a} M - \log{a} N\)
\(\log{a} M^k=k\log{a} M\)
\(\log{a} b=\frac{\log{c} b}{\log{c} a}\)
\(\log{a} MN=\log{a} M + \log{a} N\)の説明。
\(p=\log{a} M、q=\log{a} N\)であるので、
\(M=a^p、N=a^q\)
\(MN=a^p \times a^q=a^{p+q}\)
よって、
\(p+q=\log{a} MN\)
\(p+q=\log{a} M + \log{a} N\)
なので、
\(p+q=\log{a} MN=\log{a} M + \log{a} N\)
以上で示された。
\(\log{a} \frac{M}{N}=\log{a} M - \log{a} N\)の説明。
\(p=\log{a} M、q=\log{a} N\)であるので、
\(M=a^p、N=a^q\)
\(\frac{M}{N}=\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\)
よって、
\(p-q=\log{a} \frac{M}{N}\)
\(p-q=\log{a} M - \log{a} N\)
なので、
\(p-q=\log{a} \frac{M}{N}=\log{a} M - \log{a} N\)
以上で示された。
\(\log{a} M^k=k\log{a} M\)の説明。
\(M=a^p\)より、\(M^k=(a^p)^k=a^{pk}\)
よって、
\(p \times k=\log{a} M^k\)なので、\(p=\log{a} M\)より、\(\log{a} M^k=k \log{a} M\)
以上で示された。
\(\log{a} b=\frac{\log{c} b}{\log{c} a}\)の説明。
\(\log{a} b=p\)なので、\(a^p=b\)。
両辺のcを底とする対数をとると、\(\log{c} a^p=\log{c} b\)。
\(p\log{c} a=\log{c} b\)
\(p=\frac{\log{c} b}{\log{c} a}\)
\(p=\log{a} b\)なので、
\(\log{a} b=\frac{\log{c} b}{\log{c} a}\)
以上で示された。
\(\sum\limits_{n}^{k=1} k=1+2+3+4 \cdots +n=\frac{1}{2}n(n+1)\)
初項1、公差1、項数nの等差数列の和なので、
\(S_n=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)d)\)より、
\(S_n=\frac{1}{2}n(2+(n-1))\)
\(S_n=\frac{1}{2}n(2+n-1)\)
\(S_n=\frac{1}{2}n(n+1)\)
以上で示された。
\(\sum\limits_{n}^{k=1} k^2=1^2+2^2+3^2+4^2 \cdots +n^2=\frac{1}{6}(n+1)(2n+1)\)
\(S=1^2+2^2+3^2+4^2 \cdots +n^2\)と置く。
恒等式\((k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1\)を利用する。
二項定理より、
\((k+1)^3=k^3+3k^2+3k+1\)
\((k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1\)
kに1,2,3...nを代入して辺々を加えると、
\(~~~~~~~~~2^3-1^3=3\times1^2+3\times1+1\)
\(~~~~~~~~~3^3-2^3=3\times2^2+3\times2+1\)
\(~~~~~~~~~4^3-3^3=3\times3^2+3\times3+1\)
\(~~~~~~~~~\cdots\)
\(~~~~~~n^3-(n-1)^3=3 \times (n-1)^2+3 \times (n-1)+1\)
\(\underline{+)~(n+1)^3-n^3=3 \times n^2+3 \times n+1}\)
\((n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2 \cdots +n^2)+3(1+2+3 \cdots +n)+n\)
よって、
\((n+1)^3-1=3S+3 \times \frac{1}{2}n(n+1)+n\)
\(3S= (n+1)^3-1 - \frac{3}{2}n(n+1)-n\)
\(3S= (n+1)^3 - \frac{3}{2}n(n+1)-n-1\)
\(3S= (n+1)^3 - \frac{3}{2}n(n+1)-(n+1)\)
\(3S= (n+1) \biggl\{(n+1)^2 - \frac{3}{2}n-1 \biggr\}\)
\(3S= \frac{1}{2}(n+1) \biggl\{2(n+1)^2 - 3n - 2 \biggr\}\)
\(3S= \frac{1}{2}(n+1) \biggl\{2(n^2+2n+1) - 3n - 2 \biggr\}\)
\(3S= \frac{1}{2}(n+1)(2n^2 + 4n + 2 - 3n - 2)\)
\(3S= \frac{1}{2}(n+1)(2n^2 + n)\)
\(3S= \frac{1}{2}n(n+1)(2n + 1)\)
\(S= \frac{1}{6}n(n+1)(2n + 1)\)
以上で示された。
\(\sum\limits_{n}^{k=1} k^3=1^3+2^3+3^3+4^3 \cdots +n^3=\biggl\{\frac{1}{2}n(n+1)\biggr\}^2\)
\(S=1^3+2^3+3^3+4^3 \cdots +n^3\)と置く。
二項定理より、
\((k+1)^4=k^4+4k^3+6k^2+4k+1\)
\((k+1)^4-k^4=4k^3+6k^2+4k+1\)
kに1,2,3,4,5...を代入して足す。
\(~~~~~~~~~2^4-1^4=4\times1^3+6\times1^2+4\times1+1\)
\(~~~~~~~~~3^4-2^4=4\times2^3+6\times2^2+4\times2+1\)
\(~~~~~~~~~4^4-3^4=4\times3^3+6\times3^2+4\times3+1\)
\(~~~~~~~~~5^4-4^4=4\times4^3+6\times4^2+4\times4+1\)
\(~~~~~~~~~\cdots\)
\(~~~~~~n^4-(n-1)^4=4\times(n-1)^3+6\times(n-1)^2+4\times(n-1)+1\)
\(\underline{+)~(n+1)^4-n^4=4 \times n^3+6 \times n^2+4 \times n+1}\)
\((n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3 \cdots +n^3)+6(1^2+2^2+3^2 \cdots +n^2)+4(1+2+3 \cdots +n)+n\)
よって、
\((n+1)^4-1=4S+6(\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1))+4(\frac{1}{2}n(n+1))+n\)
\((n+1)^4-1=4S+n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)+n\)
\(4S=(n+1)^4-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-n-1\)
\(4S=(n+1)^4-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)-(n+1)\)
\(4S=(n+1)\biggl\{(n+1)^3-n(2n+1)-2n-1\biggr\}\)
\(4S=(n+1)\biggl\{(n+1)^3-2n^2-n-2n-1\biggr\}\)
\(4S=(n+1)\biggl\{(n+1)^3-2n^2-3n-1\biggr\}\)
\(4S=(n+1)(n^3+3n^2+3n+1-2n^2-3n-1)\)
\(4S=(n+1)(n^3+n^2)\)
\(4S=n^4+n^3+n^3+n^2\)
\(4S=n^4+2n^3+n^2\)
\(4S=n^2(n^2+2n+1)\)
\(4S=n^2(n+1)^2\)
\(S=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\)
\(S=\biggl\{\frac{1}{2}n(n+1)\biggr\}^2\)
以上で示された。
\((a+b)^n={}_n C_0 a^n + {}_n C_1 a^{n-1}b + {}_n C_2 a^{n-2}b^2+\cdots+{}_n C_r a^{n-r}b^r + \cdots {}_n C_n b^n\)
説明。
一般に、\((a+b)^n\)はn個の\((a+b)\)の積である。
\((a+b)^n=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)\cdots\)
この展開式の\(a^{n-r}b^r\)の項は、n個の(a+b)のうちのr項からbを選び、残りの(n-r)個の(a+b)からaを選んで掛け合わせると得られる。
\(a \times a \times b \times \cdots \times a → a^{n-r}b^r\)
(bをr個選ぶと残り(n-r)個はa。)
この選び方の場合分けは\({}_n C_r\)個あるので、\((a+b)^n\)を展開する時の\(a^{n-r}b^r\)の数は\({}_n C_r\)個ある。なので、\(a^{n-r}b^r\)の係数を\({}_n C_r\)で算出できる。
\((a+b)^n\)を展開するときの
\(a^n\)の項の係数は\({}_n C_0\)
\(a^{n-1}b\)の項の係数は\({}_n C_1\)
\(a^{n-2}b^2\)の項の係数は\({}_n C_2\)
\(\cdots\)
\(a^{n-r}b^r\)の項の係数は\({}_n C_r\)
\(\cdots\)
\(b^n\)の項の係数は\({}_n C_n\)
従って、
\((a+b)^n={}_n C_0 a^n + {}_n C_1 a^{n-1}b + {}_n C_2 a^{n-2}b^2+\cdots+{}_n C_r a^{n-r}b^r + \cdots {}_n C_n b^n\)
である。
\(\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}} = \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \sqrt{a}-\sqrt{b}\)
説明。
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 = a+2\sqrt{ab}+b = (a+b)+2\sqrt{ab}\)
\((\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}})^2 = (a+b)+2\sqrt{ab}\)
\((\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a-2\sqrt{ab}+b = (a+b)-2\sqrt{ab}\)
\((\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}})^2 = (a+b)-2\sqrt{ab}\)
a≡b(mod p)、c≡d(mod p)ならば、a±c≡b±d(mod p)である。
a≡b(mod p)は、a=qp+r、b=q'p+rを示している。
c≡d(mod p)は、c=q''p+r'、d=q'''p+r'を示している。
よって、
a+c=qp+r+q''p+r'=(q+q'')p+r+r'
b+d=q'p+r+q'''p+r'=(q'+q''')p+r+r'
よって、(a+c)と(b+d)をpで割ると同じr+r'が余るので示された。
a≡b(mod p)、c≡d(mod p)ならば、ac≡bd(mod p)である。
a≡b(mod p)は、a=qp+r、b=q'p+rを示している。
c≡d(mod p)は、c=q''p+r'、d=q'''p+r'を示している。
\(ac=(qp+r)(q''p+r')=qq''p^2+q'pr'+q''pr+rr'=(qq''p+q'r'+q''r)p+rr'\)
\(bd=(q'p+r)(q'''p+r')=q'q'''p^2+q'pr'+q'''pr+rr'=(q'q'''p+q'r'+q'''r)p+rr'\)
よって、acとbdをpで割ると同じrr'が余るので示された。
a≡b(mod p)ならば、\(a^n≡b^n \pmod p\)である。
数学的帰納法を用いる。
n=1の時、
a≡b(mod p)。
n=k-1の時、
\(a^{k-1}≡b^{k-1} \pmod p\)を仮定する。
\(a^{k-1}=a \times a \times a \times .... (k-1回)\)
\(b^{k-1}=b \times b \times b \times .... (k-1回)\)
である。
a≡b(mod p)であり、a≡b(mod p)かつc≡d(mod p)ならば、ac≡bd(mod p)なので、
\(a^{k-1}≡b^{k-1} \pmod p\)
である。
よって、全ての自然数nに対して、
\(a^{n}≡b^{n} \pmod p\)
が示された。
\(A=\{a_{n-1}\}=a+(n-1-1)d=a+(n-2)d=a+nd-2d\)
\(B=\{a_{n}\}=a+(n-1)d=a+nd-d\)
\(C=\{a_{n+1}\}=a+(n+1-1)d=a+(n)d=a+nd\)
\(A+C=2a+2d-2d\)
\(2B=2a+2d-2d\)
よって、数列A,B,Cが等差数列 \(\Longleftrightarrow\) 2B=A+Cが示された。
数列\(\{a_n\}\)の各項の差が、等差数列\(\{b_n\}\)である場合、\(\{b_n\}\)を数列\(\{a_n\}\)の階差数列と言う。
\(\{a_n\}=a_1~a_2~a_3~\cdots~a_n~a_{n+1}\)
\(\{b_n\}=b_1~b_2~b_3~\cdots~b_n~b_{n+1}\)
\((b_n=a_{n+1}-a_n)\)
数列\(\{a_n\}\)の階差数列を\(\{b_n\}\)とすると、
\(a_2-a_1=b_1\\a_3-a_2=b_2\\a_4-a_3=b_3\\ \cdots \\ a_n-a_{n-1}=b_{n-1}\)
である。足すと、
\(~~~~~~a_2-a_1=b_1\\~~~~~~a_3-a_2=b_2\\~~~~~~a_4-a_3=b_3\\ ~~~~~\cdots \\ \underline{+)~a_n-a_{n-1}=b_{n-1}}\)
\(~~~~~~a_n-a_1=b_1+b_2+b_3 \cdots b_{n-1}\)
よって、数列\(\{a_n\}\)の一般項は、
\(a_n-a_1=\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k\)
\(a_n=a_1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}b_k\)
である。
初項a、公比r、項数nの等比数列\(\{a_n\}\)の初項から第n項までの和\(S_n\)を求める。
\(S_n=a+ar+ar^2+ar^3+ar^4\cdots+ar^{n-2}+ar^{n-1}\)
\(S_n\)にrを掛けると、
\(rS_n=ar+ar^2+ar^3+ar^4+ar^5\cdots+ar^{n-1}+ar^{n}\)
\(S_n-rS_n\)を考えると、
\(~ ~ ~ ~ ~ ~ ~S_n=a+ar+ar^2+ar^3+ar^4\cdots+ar^{n-2}+ar^{n-1}\)
\(\underline{-)~rS_n=ar+ar^2+ar^3+ar^4+ar^5\cdots+ar^{n-1}+ar^{n}}\)
\(~ ~ ~ ~ ~ ~ ~S_n-rS_n=a-ar^n\)
\(S_n(1-r)=a(1-r^n)\)
\(S_n=\frac{a(1-r^n)}{(1-r)}\)。
\(rS_n-S_n\)からは、
\(S_n=\frac{a(r^n-1)}{(r-1)}\)が導かれる。
よって、
r≠1の時、
\(S_n=\frac{a(1-r^n)}{(1-r)}\) または
\(S_n=\frac{a(r^n-1)}{(r-1)}\)
r=1の時 \(S_n=na\)。
r<1の時、\(S_n=\frac{a(1-r^n)}{(1-r)}\)を、r>1の時\(S_n=\frac{a(r^n-1)}{(r-1)}\)を用いると計算が楽。
初項a、公差d、項数nの等差数列\(\{a_n\}\)の末項をlとし、初項から第n項までの和を\(S_n\)として\(S_n\)を求める。
\(S_n = a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)\cdots(l-2d)+(l-d)+l\)
順番を逆にして二つを足し合わせて、
\(~ ~ ~ ~ ~ ~ S_n = a+(a+d)+(a+2d)+(a+3d)\cdots(l-2d)+(l-d)+l\)
\(\underline{+)~S_n = l+(l-d)+(l-2d)+(l-3d)\cdots(a+2d)+(a+d)+a}\)
\(~ ~ ~ ~ ~ 2S_n = (a+l)+(a+l)+(a+l)\cdots(a+l)+(a+l)+(a+l)\)
(a+l)がn個続くので、
\(2S_n=n(a+l)\)
\(S_n=\frac{1}{2}n(a+l)\)
l=a+(n-1)dなので、
\(S_n=\frac{1}{2}n(a+a+(n-1)d)\)
\(S_n=\frac{1}{2}n(2a+(n-1)d)\)
a,bを実数とする。
\(\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}\)
両辺を二乗して
\(\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \geqq ab\)
両辺に4をかけて
\(a^2+2ab+b^2 \geqq 4ab\)
移項して
\(a^2-2ab+b^2 \geqq 0\)
\((a-b)^2 \geqq 0\)
a-bは実数であり、実数の二乗は0と同じか0より大きいので示された。
一般に\(r \leqq n\)の時、異なるn個から異なるr個を取り出して1列に並べる順列を、n個からr個取る順列と言い、その総数を\({}_n P_r\)で表す。
1番目のものの選び方は \(n\) 通り。 2番目のものの選び方は \(n-1\) 通り。 3番目のものの選び方は \(n-3\) 通り。 . . . r-2番目のものの選び方は \(n-(r-3) = n-r+3\) 通り。 r-1番目のものの選び方は \(n-(r-2) = n-r+2\) 通り。 r番目のものの選び方は \(n-(r-1) = n-r+1\) 通り。
従って、\({}_n P_r = n(n-1)(n-2)(n-3)...(n-r+3)(n-r+2)(n-r+1)\)。
\((n-r+1)(n-r+2)(n-r+3)...(n-3)(n-2)(n-1)n = \frac{1 * 2 * 3 * 4 * ...(n-r)(n-r+1)(n-r+2)(n-r+3)...(n-3)(n-2)(n-1)n}{1 * 2 * 3 * 4 * ...(n-r)}\)
約分して、
\((n-r+1)(n-r+2)(n-r+3)...(n-3)(n-2)(n-1)n = (n-r+1)(n-r+2)(n-r+3)...(n-3)(n-2)(n-1)n\)
従って、\({}_n P_n = \frac{n!}{(n-r)!}\)
適当に回転して並びが同じになれば同じ順列とみなす。例えば、ABCD,DABC,CDAB,DCBAを同じとみなす。
この場合、\(\frac{{}_4 P_4}{4} = \frac{4!}{4} = 3!\)。
また、
と、Aを固定すると、残りのB,C,Dを残りの場所に並べる方法の総数に等しいので、\((4-1)!\)。
一般に、異なるn個の円順列の総数は\((n-1)!\)。
n個からr個取る重複順列の総数は\(n^r\)通り。
異なるA,B,C,D,Eから3個を選ぶ。ものを取り出す順序を無視した組を作る時、これらを組み合わせという。
一般に\(r \leqq n\)の時、異なるn個のものから異なるr個を取り出す組み合わせを、n個からr個取る組み合わせと言い、その総数を\({}_n C_r\)で表す。
A,B,Cについて一列に並べる順列は、
A B C, A C B, B A C, B C A, C A B, C B A。3!通り、6通り。
他のABD,ABE,BCD,BCE,CDEについても言える。
つまり、\({}_5 C_3 * 3! = {}_5 P_3\) 通りの順列が出来る。計算して、
\({}_5 C_3 * 3! = {}_5 P_3\)
\({}_5 C_3 = \frac{{}_5 P_3}{3!}\)
同様に、\({}_n C_r\)と\({}_n P_r\)について、\({}_n C_r * r! = {}_n P_r\)が成り立つので、
\({}_n C_r = \frac{{}_n P_r}{r!} = \frac{\frac{n!}{(n-r)!}}{r!} = \frac{n!}{r!(n-r)}\)が成り立つ。
数列a,b,c ... が等比数列の時、\(\frac{b}{a} = \frac{c}{b}\)より、\(b^2 = ac\)である。
公比をrと置く。
\(b = a * r\)
\(c = a * r * r\)
従って、
\(\frac{b}{a} = \frac{a * r}{a} = r\)
\(\frac{c}{b} = \frac{a * r * r}{a * r} = r\)
よって
\(r = \frac{b}{a} = \frac{c}{b}\)
である。
逆向きに解いたのでなんだかなー、ですが載せます。
\(ax^2 + bx + c = 0\)
4aを掛けて
\(4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0\)
4acを移項して
\(4a^2x^2 + 4abx = -4ac\)
両辺に\(b^2\)を足して
\(4a^2x^2 + 4abx + b^2 = b^2 - 4ac\)
左辺を因数分解して
\((2ax + b)^2 = b^2 - 4ac\)
両辺のルートを取って
\(2ax + b = \pm{\sqrt{b^2 - 4ac}}\)
bを移項して
\(2ax = -b \pm{\sqrt{b^2 - 4ac}}\)
両辺を2aで割って
\(x = \frac{-b \pm{\sqrt{b^2 - 4ac}}}{2a}\)
\(acx^2 + (ad + bc)x + bd = (ax + b)(cx + d)\)
\((ax + b)(cx +d) = acx^2 + adx + bcx + bd = acx^2 + (ad + bc)x + bd\)
AとCを因数分解して頭の体操をします。